Парадокс Хупера

В этой головоломке дан квадрат со стороной 8 клеток, разделенный на два треугольника и две трапеции. Из этих же фигур составляется прямоугольник размерами 5 х 13 клеток.

Получается, что площадь квадрата (64 клетки) равна площади прямоугольника (65 клеток), и это «доказывает», что 64 равно 65.

Читатель обнаружит, что составить подобный прямоугольник невозможно, и увидит, где же скрывается «дырка» площадью в 1 клетку. Даже если считать парадокс решенным, он не перестает представлять интерес с точки зрения математики. Если проанализировать задачу подробнее, становится ясно, что она далеко не так проста.

Если расположить длины сторон фигур в порядке возрастания, получим 3, 5, 8, 13 — числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет такое свойство: квадрат произвольного члена последовательности равен произведению предыдущего члена на последующий плюс (или минус) 1.

Таким образом, взяв квадрат со стороной, равной одному из чисел Фибоначчи, и прямоугольник, стороны которого равны предыдущему и последующемучислам Фибоначчи, мы снова получим такой же парадокс.

Этот парадокс разрешим, и подобное построение можно выполнить корректно для числа Ф, описывающего эолотое сечение, которое тесно связано с числами Фибоначчи: взяв квадратсо стороной Ф и разделив его на четыре части, получим прямоугольник со сторонами 1 Ф + 1. Площадь квадрата (Ф²) будет точно равна площади прямоугольника 1 — (Ф + 1).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *